2018年山东省潍坊市中考数学模拟试卷及答案
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模拟试题是考试前的前瞻,能帮助我们认清楚考试的具体内容、形式和时间,可以说是十分重要的。以下是本站小编给你带来的最新模拟试题,希望能帮到你哈。
2018年山东省潍坊市中考数学模拟试卷一、选择题(本大题共12小题,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确的选项选出来,每小题选对的3分,选错、不选或选出的答案超出一个均记0分.)
1.(3分)(2015•潍坊)在|﹣2|,20,2﹣1, 这四个数中,最大的数是( )
A. |﹣2| B. 20 C. 2﹣1 D.
考点: 实数大小比较;零指数幂;负整数指数幂..
分析: 正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大的反而小,首先求出|﹣2|,20,2﹣1的值是多少,然后根据实数比较大小的方法判断即可.
解答: 解:|﹣2|=2,20=1,2﹣1=0.5,
∵ ,
∴ ,
∴在|﹣2|,20,2﹣1, 这四个数中,最大的数是|﹣2|.
故选:A.
点评: (1)此题主要考查了实数大小比较的方法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:正实数>0>负实数,两个负实数绝对值大的反而小.
(2)此题还考查了负整数指数幂的运算,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①a﹣p= (a≠0,p为正整数);②计算负整数指数幂时,一定要根据负整数指数幂的意义计算;③当底数是分数时,只要把分子、分母颠倒,负指数就可变为正指数.
(3)此题还考查了零指数幂的运算,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①a0=1(a≠0);②00≠1.
2.(3分)(2015•潍坊)如图所示几何体的左视图是( )
A. B. C. D.
考点: 简单组合体的三视图..
分析: 找到从左面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在左视图中.
解答: 解:从左面看可得矩形中间有一条横着的虚线.
故选C.
点评: 本题考查了三视图的知识,左视图是从物体的左面看得到的视图.
3.(3分)(2015•潍坊)2015年5月17日是第25个全国助残日,今年全国助残日的主题是“关注孤独症儿童,走向美好未来”.第二次全国残疾人抽样调查结果显示,我国0~6岁精神残疾儿童约为11.1万人.11.1万用科学记数法表示为( )
A.x k 1.11×104 B. 11.1×104 C. 1.11×105 D. 1.11×106
考点: 科学记数法—表示较大的数..
分析: 科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
解答: 解:将11.1万用科学记数法表示为1.11×105.
故选C.
点评: 此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
4.(3分)(2015•潍坊)如图汽车标志中不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
考点: 中心对称图形..
分析: 根据中心对称图形的概念求解.
解答: 解:A、是中心对称图形.故错误;
B、不是中心对称图形.故正确;
C、是中心对称图形.故错误;
D、是中心对称图形.故错误.
故选B.
点评: 本题考查了中心对称图形的概念:中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.
5.(3分)(2015•潍坊)下列运算正确的是( )
A. + = B. 3x2y﹣x2y=3
C. =a+b D. (a2b)3=a6b3
考点: 幂的乘方与积的乘方;合并同类项;约分;二次根式的加减法..
分析: A:根据二次根式的加减法的运算方法判断即可.
B:根据合并同类项的方法判断即可.
C:根据约分的方法判断即可.
D:根据积的乘方的运算方法判断即可.
解答: 解:∵ ,
∴选项A不正确;
∵3x2y﹣x2y=2x2y,
∴选项B不正确;
∵ ,
∴选项C不正确;
∵(a2b)3=a6b3,
∴选项D正确.
故选:D.
点评: (1)此题主要考查了幂的乘方和积的乘方,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①(am)n =amn(m,n是正整数);②(ab)n=anbn(n是正整数).
(2)此题还考查了二次根式的加减法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确二次根式的加减法的步骤:①如果有括号,根据去括号法则去掉括号.②把不是最简二次根式的二次根式进行化简.③合并被开方数相同的二次根式.
(3)此题还考查了合并同类项,以及约分的方法的应用,要熟练掌握.
6.(3分)(2015•潍坊)不等式组 的所有整数解的和是( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
考点: 一元一次不等式组的整数解..
分析: 先求出不等式组的解集,再求出不等式组的整数解,最后求出答案即可.
解答: 解:
∵解不等式①得;x>﹣ ,
解不等式②得;x≤3,
∴不等式组的解集为﹣
∴不等式组的整数解为0,1,2,3,
0+1+2+3=6,
故选D.
点评: 本题考查了解一元一次不等式组,求不等式组的整数解的应用,解此题的关键是求出不等式组的解集,难度适中.
7.(3分)(2015•潍坊)如图,AB是⊙O的弦,AO的延长线交过点B的⊙O的切线于点C,如果∠ABO=20°,则∠C的度数是( )
A. 70° B. 50° C. 45° D. 20°
考点: 切线的性质..
分析: 由BC是⊙O的切线,OB是⊙O的半径,得到∠OBC=90°,根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ABO=20°,由外角的性质得到∠BOC=40°,即可求得∠C=50°.
解答: 解:∵BC是⊙O的切线,OB是⊙O的半径,
∴∠OBC=90°,
∵OA=OB,
∴∠A=∠ABO=20°,
∴∠BOC=40°,
∴∠C=50°.
故选B.
点评: 本题考查了本题考查了切线的性质,等腰三角形的性质,掌握定理是解题的关键.
8.(3分)(2015•潍坊)若式子 +(k﹣1)0有意义,则一次函数y=(k﹣1)x+1﹣k的图象可能是( )
A. B. C. D.
考 点: 一次函数图象与系数的关系;零指数幂;二次根式有意义的条件..
分析: 首先根据二次根式中的被开方数是非负数,以及a 0=1(a≠0),判断出k的取值范围,然后判断出k﹣1、1﹣k的正负,再根据一次函数的图象与系数的关系,判断出一次函数y=(k﹣1)x+1﹣k的图象可能是哪个即可.
解答: 解:∵式子 +(k﹣1)0有意义,
∴
解得k>1,
∴k﹣1>0,1﹣k<0,
∴一次函数y=(k﹣1)x+1﹣k的图象可能是:
.
故选:A.
点评: (1)此题主要考查了一次函数的图象与系数的关系,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:当b>0时,(0,b)在y轴的正半轴上,直线与y轴交于正半轴;当b<0时,(0,b)在y轴的负半轴,直线与y轴交于负半轴.
(2)此题还考查了零指数幂的运算,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①a0=1(a≠0);②00≠1.
(3)此题还考查了二次根式有意义的条件,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:二次根式中的被开方数是非负数.
9.(3分)(2015•潍坊)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,按如下步骤作图:
第一步,分别以点A、D为圆心,以大于 AD的长为半径在AD两侧作弧,交于两点M、N;
第二步,连接MN分别交AB、AC于点E、F;
第三步,连接DE、DF.
若BD=6,AF=4,CD=3,则BE的长是( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
考点: 平行线分线段成比例;菱形的判定与性质;作图—基本作图..
分析: 根据已知得出MN是线段AD的垂直平分线,推出AE=DE,AF=DF,求出DE∥AC,DF∥AE,得出四边形AEDF是菱形,根据菱形的性质得出AE=DE=DF=AF,根据平行线分线段成比例定理得出 = ,代入求出即可.
解答: 解:∵根据作法可知:MN是线段AD的垂直平分线,
∴AE=DE,AF=DF,
∴∠EAD=∠EDA,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,
∴∠EDA=∠CAD,
∴DE∥AC,
同理DF∥AE,
∴四边形AEDF是菱形,
∴AE=DE=DF=AF,
∵AF=4,
∴AE=DE=DF=AF=4,
∵DE∥AC,
∴ = ,
∵BD=6,AE=4,CD=3,
∴ = ,
∴BE=8,
故选D.
点评: 本题考查了平行线分线段成比例定理,菱形的性质和判定,线段垂直平分线性质,等腰三角形的性质的应用,能根据定理四边形AEDF是菱形是解此题的关键,注意:一组平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.
10.(3分)(2015•潍坊)将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒,水平放置在桌面上,水杯的底面如图所示,已知水杯内径(图中小圆的直径)是8cm,水的最大深度是2cm,则杯底有水部分的面积是( )
A. ( π﹣4 )cm2 B. ( π﹣8 )cm2 C. ( π﹣4 )cm2 D. ( π﹣2 )cm2
考点: 垂径定理的应用;扇形面积的计算..
分析: 作OD⊥AB于C,交 小⊙O于D,则CD=2,由垂径定理可知AC=CB,利用正弦函数求得∠OAC=30°,进而求得∠AOC=120°,利用勾股定理即可求出AB的值,从而利用S扇形﹣S△AOB求得杯底有水部分的面积.
解答: 解:作OD⊥AB于C,交小⊙O于D,则CD=2,AC=BC,
∵OA=OD=4,CD=2,
∴OC=2,
在RT△AOC中,sin∠OAC= = ,
∴∠OAC=30°,
∴∠AOC=120°,
AC= =2 ,
∴AB=4 ,
∴杯底有水部分的面积=S扇形﹣S△AOB= ﹣ × ×2=( π﹣4 )cm2
故选A.
点评: 本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
11.(3分)(2015•潍坊)如图,有一块边长为6cm的正三角形纸板,在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形,再沿图中的虚线折起,做成一个无盖的直三棱柱纸盒,则该纸盒侧面积的最大值是( )
A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2
考点: 二次函数的应用;展开图折叠成几何体;等边三角形的性质..
分析: 如图,由等边三角形的性质可以得出∠A=∠B=∠C=60°,由三个筝形全等就可以得出AD=BE=BF=CG=CH=AK,根据折叠后是一个三棱柱就可以得出DO=PE=PF=QG=QH=OK,四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO为矩形,且全等.连结AO证明△AOD≌△AOK就可以得出∠OAD=∠OAK=30°,设OD=x,则AO=2x,由勾股定理就可以求出AD= x,由矩形的面积公式就可以表示纸盒的侧面积,由二次函数的性质就可以求出结论.
解答: 解:∵△ABC为等边三角形,
∴∠A= ∠B=∠C=60°,AB=BC=AC.
∵筝形ADOK≌筝形BEPF≌筝形AGQH,
∴AD=BE=BF=CG=CH=AK.
∵折叠后是一个三棱柱,
∴DO=PE=PF=QG=QH=OK,四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO都为矩形.
∴∠ADO=∠AKO=90°.
连结AO,
在Rt△AOD和Rt△AOK中,
,
∴Rt△AOD≌Rt△AOK(HL).
∴∠OAD=∠OAK=30°.
设OD=x,则AO=2x,由勾股定理就可以求出AD= x,
∴DE=6﹣2 x,
∴纸盒侧面积=3x(6﹣2 x)=﹣6 x2+18x,
=﹣6 (x﹣ )2+ ,
∴当x= 时,纸盒侧面积最大为 .
故选C.
点评: 本题考查了等边三角形的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,勾股定理的运用,矩形的面积公式的运用,二次函数的性质的运用,解答时表示出纸盒的侧面积是关键.
12.(3分)(2015•潍坊)已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示,顶点为(﹣1,0),下列结论:①abc<0;②b2﹣4ac=0;③a>2;④4a﹣2b+c>0.其中正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
考点: 二次函数图象与系数的关系..
分析: ①首先根据抛物线开口向上,可得a>0;然后根据对称轴在y轴左边,可得b>0;最后根据抛物线与y轴的交点在x轴的上方,可得c>0,据此判断出abc>0即可.
②根据二次函数y=ax2+bx+c+2的图象与x轴只有一个交点,可得△=0,即b2﹣4ac=0.
③首先根据对称轴x=﹣ =﹣1,可得b=2a,然后根据b2﹣4ac=0,确定出a的取值范围即可.
④根据对称轴是x=﹣1,而且x=0时,y>2,可得x=﹣2时,y>2,据此判断即可.
解答: 解:∵抛物线开口向上,
∴a>0,
∵对称轴在y轴左边,
∴b>0,
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方,
∴c+2>2,
∴c>0,
∴abc>0,
∴结论①不正确;
∵二次函数y=ax2+bx+c+2的图象与x轴只有一个交点,
∴△=0,
即b2﹣4ac=0,
∴结论②正确;
∵对称轴x=﹣ =﹣1,
∴b=2a,
∵b2﹣4ac=0,
∴4a2﹣4ac=0,
∴a=c,
∵c>0,
∴a>0,
∴结论③不正确;
∵对称轴是x=﹣1,而且x=0时,y>2,
∴x=﹣2时,y>2,
∴4a﹣2b+c+2>2,
∴4a﹣2b+c>0.
∴结论④正确.
综上,可得
正确结论的个数是2个:②④.
故选:B.
点评: 此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小:当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右.(简称:左同右异)③常数项c决定抛物线与y轴交点. 抛物线与y轴交于 (0,c).
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分,只要求填写最后结果.)
13.(3分)(2015•潍坊)“植树节”时,九年级一班6个小组的植树棵数分别是:5,7,3,x,6,4.已知这组数据的众数是5,则该组数据的平均数是 5 .
考点: 算术平均数;众数..
分析: 首先根据众数为5得出x=5,然后根据平均数的概念求解.
解答: 解:∵这组数据的众数是5,
∴x=5,
则平均数为: =5.
故答案为:5.
点评: 本题考查了众数和平均数的知识,一组数据中出现次数最多的数据叫做众数;平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.
14.(3分)(2015•潍坊)如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,BC=50,AB=20,∠B=60°,则AD= 30 .
考点: 等腰梯形的性质..
分析: 首先作辅助线:过点A作AE∥CD交BC于点E,根据等腰梯形的性质,易得四边形AECD是平行四边形,根据平行四边形的对边相等,即可得AE=CD=AB=20,AD=EC,易得△ABE是等边三角形,即可求得AD的长.
解答: 解:过点A作AE∥CD交BC于点E,
∵AD∥BC,
∴四边形AECD是平行四边形,
∴AE=CD=AB=20,AD=EC,
∵∠B=60°,
∴BE=AB=AE=20,
∴AD=BC﹣CE=50﹣20=30.
故答案为:30
点评: 此题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质以及等边三角形的性质.解题的关键是注意平移梯形的一腰是梯形题目中常见的辅助线.
15.(3分)(2015•潍坊)因式分解:ax2﹣7ax+6a= a(x﹣1)(x﹣6) .
考点: 因式分解-十字相乘法等;因式分解-提公因式法..
专题: 计算题.
分析: 原式提取a,再利用十字相乘法分解即可.
解答: 解:原式=a(x2﹣7x+6)=a(x﹣1)(x﹣6),
故答案为:a(x﹣1)(x﹣6)
点评: 此题考查了因式分解﹣十字相乘法,以及提取公因式法,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
16.(3分)(2015•潍坊)观光塔是潍坊市区的标志性建筑,为测量其高度,如图,一人先在附近一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°,然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°.已知楼房高AB约是45m,根据以上观测数据可求观光塔的高CD是 135 m.
考点: 解直角三角形的应用-仰角俯角问题..
分析: 根据“爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°”可以求出AD的长,然后根据“在一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°”可以求出CD的长.
解答: 解:∵爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°,
∴∠ADB=30°,
在Rt△ABD中,
tan30°= ,
解得, = ,
∴AD=45 ,
∵在一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°,
∴在Rt△ACD中,
CD=AD•tan60°=45 × =135米.
故答案为135米.
点评: 本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角、俯角问题,要求学生能借助仰角、俯角构造直角三角形并解直角三角形.
17.(3分)(2015•潍坊)如图,正△ABC的边长为2,以BC边上的高AB1为边作正△AB1C1,△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1;再以正△AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正△AB2C2,△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2;…,以此类推,则Sn= ( )n .(用含n的式子表示)
考点: 等边三角形的性质..
专题: 规律型.
分析: 由AB1为边长为2的等边三角形ABC的高,利用三线合一得到B1为BC的中点,求出BB1的长,利用勾股定理求出AB1的长,进而求出S1,同理求出S2,依此类推,得到Sn.
解答: 解:∵等边三角形ABC的边长为2,AB1⊥BC,
∴BB1=1,AB=2,
根据勾股定理得:AB1= ,
∴S1= × ×( )2= ( )1;
∵等边三角形AB1C1的边长为 ,AB2⊥B1C1,
∴B1B2= ,AB1= ,
根据勾股定理得:AB2= ,
∴S2= × ×( )2= ( )2;
依此类推,Sn= ( )n.
故答案为: ( )n.
点评: 此题考查了等边三角形的性质,属于规律型试题,熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键.
18.(3分)(2015•潍坊)正比例函数y1=mx(m>0)的图象与反比例函数y2= (k≠0)的图象交于点A(n,4)和点B,AM⊥y轴,垂足为M.若△AMB的面积为8,则满足y1>y2的实数x的取值范围是 ﹣22 .
考点: 反比例函数与一次函数的交点问题..
分析: 由反比例函数图象的对称性可得:点A和点B关于原点对称,再根据△AMB的面积为8列出方程 ×4n×2=8,解方程求出n的值,然后利用图象可知满足y1>y2的实数x的取值范围.
解答: 解:∵正比例函数y1=mx(m>0)的图象与反比例函数y2= (k≠0)的图象交于点A(n,4)和点B ,
∴B(﹣n,﹣4).
∵△AMB的`面积为8,
∴ ×4n×2=8,
解得n=2,
∴A(2,4),B(﹣2,﹣4).
由图形可知,当﹣22时,正比例函数y1=mx(m>0)的图象在反比例函数y2= (k≠0)图象的上方,即y1>y2.
故答案为﹣22.
点评: 本题考查了一次函 数和反比例函数的交点问题,三角形的面积,反比例函数的对称性,体现了数形结合的思想.
三、解答题(本大题共6小题,共66分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)
19.(9分)(2015•潍坊)为提高饮水质量,越来越多的居民选购家用净水器.一商场抓住商机,从厂家购进了A、B两种型号家用净水器共160台,A型号家用净水器进价是150元/台,B型号家用净水器进价是350元/台,购进两种型号的家用净水器共用去36000元.
(1)求A、B两种型号家用净水器各购进了多少台;
(2)为使每台B型号家用净水器的毛利润是A型号的2倍,且保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于11000元,求每台A型号家用净水器的售价至少是多少元.(注:毛利润=售价﹣进价)
考点: 一元一次不等式的应用;二元一次方程组的应用..
分析: (1)设A种型号家用净水器购进了x台,B种型号家用净水器购进了y台,根据“购进了A、B两种型号家用净水器共160台,购进两种型号的家用净水器共用去36000元.”列出方程组解答即可;
(2)设每台A型号家用净水器的毛利润是a元,则每台B型号家用净水器的毛利润是2a元,根据保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于11000元,列出不等式解答即可.
解答: 解:(1)设A种型号家用净水器购进了x台,B种型号家用净水器购进了y台,
由题意得 ,
解得 .
答:A种型号家用净水器购进了100台,B种型号家用净水器购进了60台.
(2)设每台A型号家用净水器的毛利润是a元,则每台B型号家用净水器的毛利润是2a元,
由题意得100a+60×2a≥11000,
解得a≥50,
150+50=200(元).
答:每台A型号家用净水器的售价至少是200元.
点评: 此题考查一元一次不等式组的实际运用,二元一次方程组的实际运用,找出题目蕴含的数量关系与不等关系是解决问题的关键.
20.(10分)(2015•潍坊)某校了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况,随机抽取了该年级的部分学生,调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数.设每名学生的阅读本数为n,并按以下规定分为四档:当n<3时,为“偏少”;当3≤n<5时,为“一般”;当5≤n<8时,为“良好”;当n≥8时,为“优秀”.将调查结果统计后绘制成不完整的统计图表:
阅读本数n(本) 1 2 3 4 5 6 7 8 9
人数(名) 1 2 6 7 12 x 7 y 1
请根据以上信息回答下列问题:
(1)分别求出统计表中的x、y的值;
(2)估计该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数;
(3)从被调查的“优秀”档次的学生中随机抽取2名学生介绍读书体会,请用列表或画树状图的方法求抽取的2名学生中有1名阅读本数为9的概率.
考点: 列表法与树状图法;用样本估计总体;扇形统计图..
分析: (1)首先求得总分数,然后即可求得x和y的值;
(2)首先求得样本中的优秀率,然后用样本估计总体即可;
(3)列表将所有等可能的结果列举出来,然后利用概率公式求解即可.
解答: 解:(1)由表可知被调查学生中“一般”档次的有13人,所占比例是26%,所以共调查的学生数是13÷26%=50,
则调查学生中“良好”档次的人数为50×60%=30,
∴x=30﹣(12+7)=11,
y=50﹣(1+2+6+7+12+11+7+1)=3.
(2)由样本数据可知“优秀”档次所占的百分比为 =8%,
∴,估计九年级400名学生中为优秀档次的人数为400×8%=32;
(3)用A、B、C表示阅读本数是8的学生,用D表示阅读9本的学生,列表得到:
A B C D
A AB AC AD
B BA BC BD
C CA CB CD
D DA DB DC
由列表可知,共12种等可能的结果,其中所抽取的2名学生中有1名阅读本数为9的有6种,
所以抽取的2名学生中有1名阅读本数为9的概率为 = ;
点评: 考查了列表与树状图法求概率、用样本估计总体及扇形统计图的知识,解题的关键是能够通过列表将所有等可能的结果列举出来,难度不大.
21.(10分)(2015•潍坊)如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O交BC于点D,交AB于点E,过点D作DF⊥AB,垂足为F,连接DE.
(1)求证:直线DF与⊙O相切;
(2)若AE=7,BC=6,求AC的长.
考点: 切线的判定;相似三角形的判定与性质..
分析: (1)连接OD,利用AB=AC,OD=OC,证得OD∥AD,易证DF⊥OD,故DF为⊙O的切线;
(2)证得△BED∽△BCA,求得BE,利用AC=AB=AE+BE求得答案即可.
解答: (1)证明:如图,
连接OD.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵OD=OC,
∴∠ODC=∠C,
∴∠ODC=∠B,
∴OD∥AB,
∵DF⊥AB,
∴OD⊥DF,
∵点D在⊙O上,
∴直线DF与⊙O相切;
(2)解:∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形,
∴∠AED+∠ACD=180°,
∵∠AED+∠BED=180°,
∴∠BED=∠ACD,
∵∠B=∠B,
∴△BED∽△BCA,
∴ = ,
∵OD∥AB,AO=CO,
∴BD=CD= BC=3,
又∵AE=7,
∴ = ,
∴BE=2,
∴AC=AB=AE+BE=7+2=9.
点评: 此题考查切线的判定,三角形相似的判定与性质,要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心和这点(即为半径),再证垂直即可.
22.(11分)(2015•潍坊)“低碳生活,绿色出行”的理念正逐渐被人们所接受,越来越多的人选择骑自行车上下班.王叔叔某天骑自行车上班从家出发到单位过程中行进速度v(米/分钟)随时间t(分 钟)变化的函数图象大致如图所示,图象由三条线段OA、AB和BC组成.设线段OC上有一动点T(t,0),直线l左侧部分的面积即为t分钟内王叔叔行进的路程s(米).
(1)①当t=2分钟时,速度v= 200 米/分钟,路程s= 200 米;
②当t=15分钟时,速度v= 300 米/分钟,路程s= 4050 米.
(2)当0≤t≤3和3
(3)求王叔叔该天上班从家出发行进了750米时所用的时间t.
考点: 一次函数的应用..
分析: (1)①根据图象得出直线OA的解析式,代入t=2解答即可;
②根据图象得出t=15时的速度,并计算其路程即可;
(2)利用待定系数法得出0≤t≤3和3
(3)根据当3
解答: 解:(1)①直线OA的解析式为:y= t=100t,
把t=2代入可得:y=200;
路程S= =200,
故答案为:200;200;
②当t=15时,速度为定值=300,路程= ,
故答案为:300;4050;
(2)①当0≤t≤3,设直线OA的解析式为:y=kt,由图象可知点A(3,300),
∴300=3k,
解得:k=100,
则解析式为:y=100t;
设l与OA的交点为P,则P(t,100t),
∴s= ,
②当3
∴S= ,
(3)∵当0≤t≤3,S最大=50×9=450,
∵750>50,
∴当3
则令750=300t﹣450,
解得:t=4.
故王叔叔该天上班从家出发行进了750米时所用的时间4分钟.
点评: 此题考查一次函数的应用,关键是根据图象进行分析,同时利用待定系数法得出解析式.
23.(12分)(2015•潍坊)如图1,点O是正方形ABCD两对角线的交点,分别延长OD到点G,OC到点E,使OG=2OD,OE=2OC,然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG,连接AG,DE.
(1)求证:DE⊥AG;
(2)正方形ABCD固定,将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<360°)得到正方形OE′F′G′,如图2.
①在旋转过程中,当∠OAG′是直角时,求α的度数;
②若正方形ABCD的边长为1,在旋转过程中,求AF′长的最大值和此时α的度数,直接写出结果不必说明理由.
考点: 几何变换综合题..
分析: (1)延长ED交交AG于点H,易证△AOG≌△DOE,得到∠AGO=∠DEO,然后运用等量代换证明∠AHE=90°即可;
(2)①在旋转过程中,∠OAG′成为直角有两种情况:α由0°增大到90°过程中,当∠OAG′=90°时,α=30°,α由90°增大到180°过程中,当∠OAG′=90°时,α=150°;
②当旋转到A、O、F′在一条直线上时,AF′的长最大,AF′=AO+OF′= +2,此时α=315°.
解答: 解:(1)如图1,延长ED交AG于点H,
∵点O是正方形ABCD两对角线的交点,
∴OA=OD,OA⊥OD,
∵OG=OE,
在△AOG和△DOE中,
,
∴△AOG≌△DOE,
∴∠AGO=∠DEO,
∵∠AGO+∠GAO=90°,
∴∠AGO+∠DEO =90°,
∴∠AHE=90°,
即DE⊥AG;
(2)①在旋转过程中,∠OAG′成为直角有两种情况:
(Ⅰ)α由0°增大到90°过程中,当∠OAG′=90°时,
∵OA=OD= OG= OG′,
∴在Rt△OAG′中,sin∠AG′O= = ,
∴∠AG′O=30°,
∵OA⊥OD,OA⊥AG′,
∴OD∥AG′,
∴∠DOG′=∠AG′O=30°,
即α=30°;
(Ⅱ)α由90°增大到180°过程中,当∠OAG′=90°时,
同理可求∠BOG′=30°,
∴α=180°﹣30°=150°.
综上所述,当∠OAG′=90°时,α=30°或150°.
②如图3,当旋转到A、O、F′在一条直线上时,AF′的长最大,
∵正方形ABCD的边长为1,
∴OA=OD=OC=OB= ,
∵OG=2OD,
∴OG′=OG= ,
∴OF′=2,
∴AF′=AO+OF′= +2,
∵∠COE′=45°,
∴此时α=315°.
点评: 本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、旋转变换的性质的综合运用,有一定的综合性,分类讨论当∠OAG′是直角时,求α的度数是本题的难点.
24.(14分)(2015•潍坊)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=mx2﹣8mx+4m+2(m>2)与y轴的交点为A,与x轴的交点分别为B(x1,0),C(x2,0),且x2﹣x1=4,直线AD∥x轴,在x轴上有一动点E(t,0)过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当0
(3)当t>2时,是否存在点P,使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似?若存在,求出此时t的值; 若不存在,请说明理由.
考点: 二次函数综合题..
分析: (1)认真审题,直接根据题意列出方程组,求出B,C两点的坐标,进而可求出抛物线的解析式;
(2)分0
(3)分26时两种情况进行讨论,再根据三角形相似的条件,即可得解.
解答: 解:(1)由题意知x1、x2是方程mx2﹣8mx+4m+2=0的两根,
∴x1+x2=8,
由
解得:
∴B(2,0)、C(6,0)
则4m﹣16m+4m+2=0,
解得:m= ,
∴该抛物线解析式为:y= ;
(2)可求得A(0,3)
设直线AC的解析式为:y=kx+b,
∵
∴
∴直线AC的解析式为:y=﹣ x+3,
要构成△APC,显然t≠6,分两种情况讨论:
①当0
∵P(t, ),∴PF= ,
∴S△APC=S△APF+S△CPF
=
=
= ,
此时最大值为: ,
②当6≤t≤8时,设直线l与AC交点为M,则:M(t,﹣ ),
∵P(t, ),∴PM= ,
∴S△APC=S△APF﹣S△CPF=
=
= ,
当t=8时,取最大值,最大值为:12,
综上可知,当0
(3)如图,连接AB,则△AOB中,∠AOB=90°,AO=3,BO=2,
Q(t,3),P(t, ),
①当2
若:△AOB∽△AQP,则: ,
即: ,
∴t=0(舍),或t= ,
若△AOB∽△PQA,则: ,
即: ,
∴t=0(舍)或t=2(舍),
②当t>6时,AQ′=t,PQ′= ,
若:△AOB∽△AQP,则: ,
即: ,
∴t=0(舍),或t= ,
若△AOB∽△PQA,则: ,
即: ,
∴t=0(舍)或t=14,
∴t= 或t= 或t=14.
点评: 本题主要考查了抛物线解析式的求法,以及利用配方法等知识点求最值的问题,还考查了三角形相似的问题,是一道二次函数与几何问题结合紧密的题目,要注意认真总结.
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