人教版高一数学第一单元知识点
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一.知识归纳:
1.集合的有关概念。
1)集合(集):某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素 注意:①集合与集合的元素是两个不同的概念,教科书中是通过描述给出的,这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A,二者必居其一)、互异性(若a?A,b?A,则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。
③集合具有两方面的意义,即:凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件
2)集合的表示方法:常用的有列举法、描述法和图文法
3)集合的分类:有限集,无限集,空集。
4)常用数集:N,Z,Q,R,N*
2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
1)子集:若对x∈A都有x∈B,则A B(或A B);
2)真子集:A B且存在x0∈B但x0 A;记为A B(或 ,且 )
3)交集:A∩B={x| x∈A且x∈B}
4)并集:A∪B={x| x∈A或x∈B}
5)补集:CUA={x| x A但x∈U}
注意:①? A,若A≠?,则? A ;
②若 , ,则 ;
③若 且 ,则A=B(等集)
3.弄清集合与元素、集合与集合的关系,掌握有关的术语和符号,特别要注意以下的符号:(1) 与 、?的区别;(2) 与 的区别;(3) 与 的区别。
4.有关子集的几个等价关系
①A∩B=A A B;②A∪B=B A B;③A B C uA C uB;
④A∩CuB = 空集 CuA B;⑤CuA∪B=I A B。
5.交、并集运算的性质
①A∩A=A,A∩? = ?,A∩B=B∩A;②A∪A=A,A∪? =A,A∪B=B∪A; ③Cu (A∪B)= CuA∩CuB,Cu (A∩B)= CuA∪CuB;
6.有限子集的个数:设集合A的元素个数是n,则A有2n个子集,2n-1个非空子集,2n-2个非空真子集。
二.例题讲解:
【例1】已知集合M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z},则M,N,P满足关系
A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M
分析一:从判断元素的共性与区别入手。
解答一:对于集合M:{x|x= ,m∈Z};对于集合N:{x|x= ,n∈Z}
对于集合P:{x|x= ,p∈Z},由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数,而6m+1表示被6除余1的数,所以M N=P,故选B。
分析二:简单列举集合中的'元素。
解答二:M={…, ,…},N={…, , , ,…},P={…, , ,…},这时不要急于判断三个集合间的关系,应分析各集合中不同的元素。
= ∈N, ∈N,∴M N,又 = M,∴M N,
变式:设集合 , ,则( B )
A.M=N B.M N C.N M D.
解:
当 时,2k+1是奇数,k+2是整数,选B
【例2】定义集合A*B={x|x∈A且x B},若A={1,3,5,7},B={2,3,5},则A*B的子集个数为
A)1 B)2 C)3 D)4
分析:确定集合A*B子集的个数,首先要确定元素的个数,然后再利用公式:集合A={a1,a2,…,an}有子集2n个来求解。
解答:∵A*B={x|x∈A且x B}, ∴A*B={1,7},有两个元素,故A*B的子集共有22个。选D。
变式1:已知非空集合M {1,2,3,4,5},且若a∈M,则6?a∈M,那么集合M的个数为
A)5个 B)6个 C)7个 D)8个
变式2:已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A.
解:由已知,集合中必须含有元素a,b.
集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}. 评析 本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数,所以共有 个 .
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